Lithiumionen- Batterie
Das Thema Elektromobilität wird heute breit diskutiert. Elektrisches Fahren mittels Hybridantrieb der reinen Elektroantriebs gilt allgemein als die
Fortbewegungsart der Zukunft. Jedoch sind bis zur Marktreife von Elektrofahrzeugen noch viele Schwierigkeiten zu überwinden. Die Energiebereitstellung durch Batteriezellen stellt dabei eine der wesentlichen Herausforderungen dar. Bei der benötigten hohen Energie- und Leistungsdichte treten große thermische Belastungen beim Be- und
Entladen der Batteriezelle auf. Dies rückt die wärmetechnische Fragestellung nach einem thermischen Management inden Vordergrund. Aus diesem Grund untersuchte Tobias Schulze in Zusammenarbeit mit einem Batterie und einem Automobilhersteller die Temperaturentwicklung
von zylindrischen Lithiumionen-Zellen.
Erstellung des Berechnungsprogramms
Die Beschreibung von stationären und instationären Temperaturfeldern mit komplexen Randbedingungen über die Fourier’sche Differenzialgleichung ist analytisch nicht mehr möglich. Es ist notwendig, numerische Verfahren anzuwenden. Statt auf kommerzielle Lizenzprogramme zurückzugreifen, soll ein numerisches Simulationsmodell erstellt werden, das an jedem handelsüblichen Computer die Temperaturfeldentwicklung bestimmen kann. Ziel ist, über die Optimierungen der Koeffizientenmatrix und die Anpassung des Lösungsalgorithmus akzeptable Rechenzeiten bei hoher Genauigkeit und geringem Speicherplatzaufwand zu erreichen. Die Fourier’sche Differenzialgleichung ist die Ausgangsgleichung für die Berechnung der Temperaturverteilung in einem Körper und zwar sowohl bei stationärer als auch bei instationärer Wärmeleitung. Sie beschreibt das Temperaturfeld in Abhängigkeit von Ort und Zeit wie folgt:
Für die Simulation der Batteriezellen gilt es, die Differenzialgleichung (unter der Ausnutzung der Winkelsymmetrie) für den 2-dimensionalen zylindrischen Fall zu lösen. Der Batteriezelle wird hierfür in diskrete Volumenelemente aufgeteilt und anschließend wird für jedes Element die Energiebilanz aufgestellt. Durch die Randbedingungen ergeben sich vier Wärmeströme über die Ränder der Elemente. Das hieraus entstehende Gleichungssystem wird für jeden Zeitschritt gelöst und als Ergebnis erhält man die Temperaturen der Volumenelemente. Exemplarisch ist die nach den Temperaturen aufgelöste Bilanzgleichung für ein Element in der Mitte der Batteriezelle (siehe Formelschema 1) dargestellt (m und n als Ortskoordinate, k als Zeitkoordinate). Diese Bilanzgleichungen für die betrachteten Volumenelemente sind Grundlage des Berechnungsprogramms. Aufgrund symmetrischer Betrachtung und konvektiver Wärmeübergänge am Rand der Batteriezelle variieren diese Bilanzgleichungen entsprechend der Lage des Elements im Körper. Es müssen also mehrere angepasste Typen von Bilanzgleichungen entwickelt werden. Im Programm selbst werden dann alle Bilanzgleichungstypen hinterlegt. Über eine Fallunterscheidung kann erkannt werden, welche Gleichung für das gerade zu berechnende Volumenelement zugewiesen werden muss. Anschließend werden automatisch die Koeffizienten in ein Gleichungssystem eingetragen. Dies führt zu einem impliziten Gleichungssystem, das numerisch gelöst wird und dessen Lösung das Temperaturfeld (siehe Abbildung 1) darstellt. Es ist eine simultane Berechnung aller unbekannten Temperaturen notwendig, da alle untereinander in Abhängigkeit stehen. Dieses Gleichungssystem besitzt in Matrixdarstellung eine Koeffizientenmatrix mit fünf Diagonalen (Pentadiagonalmatrix) und einem Ergebnisvektor. Für jeden Zeitschritt muss ein Gleichungssystem gelöst werden [1]. Im Belastungsfall einer andauernden Be- oder Entladung stellt sich ein stationäres Temperaturfeld in der Batteriezelle ein. Die zeitliche Ableitung der Temperatur wird null. Das Bilanzverfahren geht in das sog. „Relaxationsverfahren“ über [2]. Die stationäre Temperaturverteilung ergibt sich aus der Lösung nur eines Gleichungssystems und kann somit in nur einem Berechnungsschritt bestimmt werden.
Optimierung des Simulationsprogramms
Bei einer entsprechend fein gewählten Einteilung der Volumenelemente steigt die Anzahl der Gleichungen und somit der Unbekannten quadratisch an. Daher wird auch der für die Matrix benötigte Speicherplatz quadratisch größer. Bei der Speicherung der gesamten Matrix bei einem Raster von 100 x 100 Elementen werden 763 MB Speicherplatz benötigt. Da die Matrix nur auf fünf Diagonalen Werte besitzt, ist ein Großteil der Elemente nur mit Nullen besetzt. Der Speicherplatz kann auf 15 MB verringert werden, indem die Matrix modifiziert wird, sodass ein Großteil der Nullen nicht mit gespeichert werden muss. Es bleiben nur noch die Diagonalen mit den dazwischen liegenden Nullen bestehen. Diese lassen sich nicht einsparen, da diese Stellen beim Lösen der Matrix verändert werden.
Operatoren
Da die Matrix nun keine standardisierte Schreibweise mehr besitzt, ist die Lösung mit Standardalgorithmen nicht mehr möglich. Bedingt durch die Begradigung der Diagonalen muss ein angepasster Lösungsalgorithmus verwendet werden, der auf die Speicherart der modifizierten Matrix angepasst ist und nur noch die beschriebenen Elemente durchläuft [3].
Validierung der Berechnung
Die Rand- und Anfangsbedingungen für eine Rechnung im Simulationsprogramm wurden auf bekannte analytische Lösungen der Wärmeleitungsgleichung vereinfacht und die Ergebnisse des Programms mit bekannten analytischen Lösungen validiert. Zum einen wurde die direkte 1-dimensionale Lösung der Differenzialgleichung für den stationären Fall betrachtet. Wie aus der Abbildung 2 zu erkennen ist, stimmt der Temperaturverlauf in der Batteriezelle von beiden Rechnungen sehr gut überein. Die maximale Differenz der analytischen Lösung und des Programms liegt dabei maximal bei +/– 0,2 K. Zum anderen wurde das Programm mit dem Verfahren nach GRÖBER verglichen. Hier kann ein instationärer Fall ohne innere Wärmequellen berechnet werden. Für den Vergleich wird ein Abkühlverlauf von einer gegebenen Anfangstemperatur auf eine gegebene Umgebungstemperatur simuliert. Es werden dabei drei Temperaturstellen betrachtet. Der Temperaturverlauf stimmt, wie in Abbildung 3 zu erkennen ist, in beiden Programmen gut überein. Es wurde eine maximale Abweichung von +/– 2 K erreicht. Denkbar ist, zukünftig verschiedene Batteriezellentypen wie beispielsweise Flachzellen („Coffee-Bag-Zellen“) zu untersuchen. Ein zukünftiger Forschungsschwerpunkt ist die Kühlung der immer neueren und leistungsfähigeren Batterien, die auch eine größere Wärmeentwicklung mit sich bringen.
schulze.tudresden@googlemail.com
Literatur
[1] Schulze, T.: Entwicklung eines Algorithmus zur Simulation instationärer Temperaturfelder in zylindrischen Lithium-Ionen-Zellen, Diplomarbeit – FH-Gießen-Friedberg, 05/2009.
[2] Elsner, N.; Fischer, S.; Huhn, J.: Grundlagen der Technischen Thermodynamik Band 2 – Wärmeübertragung. 8. Aufl. Akademie-Verlag, 1993.
[3] Strelow, O., unveröffentlichtes Manuskript: Numerische Methoden, FH-Gießen-Friedberg.
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